Bentuk Aljabar
Contoh: Misalkan kita punya $3$ kotak apel dan $5$ buah apel tambahan. Jika satu kotak berisi $x$ buah apel, maka bentuknya adalah:
Aplikasi Angka
Jika ternyata isi satu kotak ($x$) adalah 10 apel:
📌 Istilah Penting dalam Bentuk Aljabar
| Istilah | Definisi | Contoh pada $5x^2 - 3x + 7$ |
|---|---|---|
| Variabel | Huruf yang mewakili bilangan yang belum diketahui | $x$ |
| Koefisien | Angka yang mengalikan variabel | $5$ (pada $5x^2$), $-3$ (pada $-3x$) |
| Konstanta | Angka tetap tanpa variabel | $7$ |
| Suku | Bagian-bagian yang dipisahkan oleh $+$ atau $-$ | $5x^2$, $-3x$, dan $7$ (ada 3 suku) |
| Pangkat/Eksponen | Angka kecil di atas variabel | $2$ pada $x^2$ |
| Derajat | Pangkat tertinggi pada bentuk aljabar | Derajat $= 2$ (dari $x^2$) |
💡 Suku Sejenis vs Suku Tidak Sejenis:
Suku sejenis: variabel dan pangkatnya SAMA. Contoh: $3x^2$ dan $-5x^2$ adalah sejenis.
Suku tidak sejenis: variabel atau pangkat berbeda. Contoh: $3x^2$ dan $3x$ TIDAK sejenis meskipun koefisiennya sama.
Operasi Aljabar
1. Penjumlahan Suku Sejenis
Hanya angka (koefisien) yang dihitung, variabel tetap.
Kelompokkan $a$ dengan $a$:
$= (3+2)a + 5j = 5a + 5j$
2. Perkalian Pelangi (Distributif)
Angka luar mengalikan semua yang di dalam kurung.
Langkah 1: $2 \cdot x = 2x$
Langkah 2: $2 \cdot 3 = 6$
Hasil: $2x + 6$
📌 Perkalian Dua Kurung: $(a+b)(c+d)$ Penting
Contoh: $(x + 3)(x + 4)$
F: $x \cdot x = x^2$
O: $x \cdot 4 = 4x$
I: $3 \cdot x = 3x$
L: $3 \cdot 4 = 12$
Hasil: $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$
📌 Identitas Aljabar yang Wajib Dihafal
| Nama | Rumus | Contoh Angka |
|---|---|---|
| Kuadrat Penjumlahan | $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ |
| Kuadrat Pengurangan | $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | $(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$ |
| Selisih Dua Kuadrat | $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ | $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$ |
| Kubus Penjumlahan | $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ | $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ |
| Selisih Dua Kubus | $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ | $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$ |
Pemfaktoran
Contoh Memfaktorkan $x^2 + 5x + 6$
Cari dua angka yang kalau dikali $= 6$ (konstanta) dan kalau ditambah $= 5$ (koefisien tengah).
Angka tersebut adalah 2 dan 3 karena $2 \cdot 3 = 6$ dan $2 + 3 = 5$.
Maka: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$
📌 Teknik-Teknik Pemfaktoran Lengkap
A. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Cari angka/variabel terbesar yang bisa membagi semua suku.
$6x^3 + 9x^2 - 3x$
FPB = $3x$ (bisa membagi semua suku)
$= 3x(2x^2 + 3x - 1)$
B. Selisih Dua Kuadrat: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
Berlaku hanya jika kedua suku merupakan bilangan kuadrat sempurna dan dihubungkan oleh pengurangan.
$25x^2 - 16 = (5x)^2 - (4)^2$
$= (5x + 4)(5x - 4)$
C. Pemfaktoran Trinomial Saat $a \neq 1$ Sering Diujikan
Untuk bentuk $ax^2 + bx + c$, gunakan metode $ac$: kalikan $a \cdot c$, lalu cari dua bilangan yang kalikan hasilnya dan dijumlahkan hasilnya $= b$.
Faktorkan $2x^2 + 7x + 3$:
$a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$. Cari dua angka: hasilnya $6$, jumlahnya $7$ → yaitu $1$ dan $6$
$= 2x^2 + 6x + 1x + 3$
$= 2x(x + 3) + 1(x + 3)$
$= (2x + 1)(x + 3)$
D. Pemfaktoran dengan Pengelompokan (Grouping)
Untuk ekspresi dengan 4 suku, kelompokkan jadi 2 pasang, lalu faktorkan masing-masing.
Faktorkan $x^3 + 2x^2 + 3x + 6$:
$= (x^3 + 2x^2) + (3x + 6)$
$= x^2(x + 2) + 3(x + 2)$
$= (x^2 + 3)(x + 2)$
Pecahan Aljabar
Menyederhanakan Pecahan
Sederhanakan $\frac{4x^2}{2x}$
Bagi angkanya: $4 / 2 = 2$
Bagi variabelnya: $x^2 / x = x^{(2-1)} = x^1$
Hasil Akhir: $2x$
Penjumlahan (Samakan Penyebut ke $3x$)
📌 Operasi Lengkap Pecahan Aljabar
Perkalian Pecahan
Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut, lalu sederhanakan.
$\frac{3x}{4} \times \frac{8}{x^2}$
$= \frac{3x \cdot 8}{4 \cdot x^2} = \frac{24x}{4x^2}$
$= \frac{6}{x}$
Pembagian Pecahan
Balik pecahan kedua (pembagi), lalu ubah menjadi perkalian.
$\frac{x^2}{5} \div \frac{x}{10}$
$= \frac{x^2}{5} \times \frac{10}{x} = \frac{10x^2}{5x}$
$= 2x$
Menyederhanakan dengan Pemfaktoran Penting
Faktorkan pembilang dan penyebut terlebih dahulu, baru coret faktor yang sama.
$\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$
Faktorkan: pembilang $= (x+2)(x+3)$, penyebut $= (x+2)(x-2)$
$= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)}$
$= \frac{x+3}{x-2}$ (coret faktor $(x+2)$)
⚠️ Ingat: $x \neq -2$ dan $x \neq 2$ karena akan membuat penyebut = 0 (tidak terdefinisi)!
Persamaan Linear
Selesaikan: $2x + 4 = 10$
Kurangi 4 di kedua sisi agar variabel $x$ mulai sendirian:
$2x = 10 - 4$
$2x = 6$
Bagi kedua ruas dengan koefisien 2:
$x = 6 / 2$
$x = 3$
📌 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Sering Diujikan
Metode Substitusi
Nyatakan satu variabel menggunakan variabel lain, lalu masukkan ke persamaan lainnya.
Contoh: $x + y = 5$ dan $2x - y = 4$
Dari persamaan 1: $y = 5 - x$
Substitusi ke persamaan 2:
$2x - (5-x) = 4$
$3x = 9 \Rightarrow x = 3$
$y = 5 - 3 = 2$
Solusi: $(x, y) = (3, 2)$
Metode Eliminasi
Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk menghilangkan satu variabel.
Contoh: $x + y = 5$ dan $2x - y = 4$
Jumlahkan langsung (koefisien $y$ sudah berlawanan):
$x + y = 5$
$\underline{2x - y = 4 \; (+)}$
$3x = 9 \Rightarrow x = 3$
Substitusi: $y = 5 - 3 = 2$
Solusi: $(x, y) = (3, 2)$
Pertidaksamaan Linear
Contoh Kasus Negatif: $-3x \le 12$
Kita bagi dengan $-3$. Sesuai aturan, $\le$ berubah menjadi $\ge$:
$x \ge \frac{12}{-3}$
$x \ge -4$
📌 Notasi dan Penulisan Himpunan Solusi
| Pertidaksamaan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|
| $x > 3$ | $(3, +\infty)$ | Bulatan kosong di 3, panah ke kanan |
| $x \geq 3$ | $[3, +\infty)$ | Bulatan penuh di 3, panah ke kanan |
| $x < 3$ | $(-\infty, 3)$ | Panah ke kiri, bulatan kosong di 3 |
| $-2 \leq x < 5$ | $[-2, 5)$ | Bulatan penuh di -2, kosong di 5 |
Pertidaksamaan Gabungan (AND / OR)
Selesaikan: $-1 \leq 2x + 3 < 7$
Kurangi 3 semua bagian:
$-4 \leq 2x < 4$
Bagi 2 semua bagian:
$-2 \leq x < 2$
💡 Tips Ujian:
Untuk pertidaksamaan ganda, operasikan semua tiga "bagian" secara bersamaan. Ingat bahwa tanda tetap tidak berubah selama kita tidak membagi/mengalikan dengan negatif.
Persamaan Kuadrat
Simulasi Rumus ABC
Untuk $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($a=1, b=-5, c=6$):
$x_1 = 3$ atau $x_2 = 2$
📌 Diskriminan ($D$): Menentukan Jenis Akar Sering Diujikan
| Nilai Diskriminan ($D$) | Jenis Akar | Contoh |
|---|---|---|
| $D > 0$ | Dua akar nyata berbeda ($x_1 \neq x_2$) | $x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow D = 9$ |
| $D = 0$ | Dua akar nyata sama/kembar ($x_1 = x_2$) | $x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow D = 0$ |
| $D < 0$ | Tidak ada akar nyata (akar imajiner) | $x^2 + x + 5 = 0 \Rightarrow D = -19$ |
📌 Hubungan Akar-Akar (Teorema Vieta)
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (jumlah akar)
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (hasil kali akar)
Contoh: Untuk $2x^2 - 6x + 4 = 0$ ($a=2, b=-6, c=4$):
$x_1 + x_2 = -(-6)/2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = 4/2 = 2$
Verifikasi: akar-akarnya adalah $x=1$ dan $x=2$. Jumlah: $1+2=3$ ✓, kali: $1\times2=2$ ✓
📌 Metode Melengkapi Kuadrat
Selesaikan $x^2 + 6x - 7 = 0$ dengan melengkapi kuadrat:
Pindahkan konstanta ke kanan: $x^2 + 6x = 7$
Tambah $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ ke kedua sisi: $x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 = 16$
$(x + 3)^2 = 16 \Rightarrow x + 3 = \pm 4$
$x_1 = 4 - 3 = 1$ atau $x_2 = -4 - 3 = -7$
Fungsi Kuadrat
Mencari Titik Balik fungsi $f(x) = x^2 - 4x + 3$:
Sumbu Simetri ($x$)
$x = -b / 2a = 2$
Titik Puncak ($y$)
$y = f(2) = -1$
Koordinat Puncak Parabola: $(2, -1)$
📌 Analisis Lengkap Fungsi Kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$
| Elemen | Rumus | Contoh: $f(x) = x^2 - 4x + 3$ |
|---|---|---|
| Arah Parabola | $a>0$: terbuka ke atas; $a<0$: terbuka ke bawah | $a=1>0$, terbuka ke atas (nilai minimum) |
| Sumbu Simetri | $x = -\frac{b}{2a}$ | $x = -\frac{-4}{2(1)} = 2$ |
| Titik Puncak | $\left(-\frac{b}{2a},\; -\frac{D}{4a}\right)$ | $(2, -1)$ |
| Titik Potong Sumbu $y$ | $f(0) = c$ | $(0, 3)$ |
| Titik Potong Sumbu $x$ | Akar persamaan $f(x) = 0$ | $x = 1$ dan $x = 3$: titik $(1,0)$ dan $(3,0)$ |
| Nilai Maksimum/Minimum | $y_{puncak} = -\frac{D}{4a}$ | $y_{min} = -1$ (karena $a>0$) |
🎯 Tiga Bentuk Fungsi Kuadrat:
1. Standar: $f(x) = ax^2 + bx + c$ — mudah baca nilai $c$ (titik potong sumbu $y$)
2. Puncak (Vertex): $f(x) = a(x-h)^2 + k$ — titik puncak langsung terlihat di $(h, k)$
3. Faktor: $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ — akar/titik nol langsung terlihat di $x_1$ dan $x_2$
Sistem Non-Linear
Contoh: Garis $y = x$ memotong kurva $y = x^2 - 2$:
Samakan kedua $y$: $x = x^2 - 2$
Susun ulang: $x^2 - x - 2 = 0$
Akar-akarnya: $x = 2$ atau $x = -1$
📌 Langkah Lengkap Menyelesaikan Sistem Non-Linear
Contoh Lengkap: Tentukan titik potong lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ dengan garis $y = x + 1$
Substitusi garis ke lingkaran:
$x^2 + (x+1)^2 = 25$
Ekspansi dan sederhanakan:
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$
$2x^2 + 2x - 24 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
Faktorkan:
$(x+4)(x-3) = 0 \Rightarrow x = -4$ atau $x = 3$
Cari nilai $y$ masing-masing:
$x=-4 \Rightarrow y = -4+1 = -3$
$x=3 \Rightarrow y = 3+1 = 4$
Titik potong: $(-4, -3)$ dan $(3, 4)$
Polinomial
Simulasi Teorema Sisa:
Mencari sisa pembagian $P(x) = x^3 - 2$ oleh $(x - 2)$.
Tanpa dibagi bersusun, kita tahu sisanya adalah 6!
📌 Teorema Faktor Baru
Apakah $(x - 1)$ faktor dari $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$?
$P(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
Karena $P(1) = 0$, maka $(x-1)$ adalah faktor! ✓
📌 Metode Horner (Pembagian Sintetis) Baru
Bagi $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ oleh $(x - 1)$, maka $k = 1$:
Koefisien: 1 | -6 | 11 | -6
Turunkan angka pertama: 1
1 × 1 = 1 → tambah ke -6: -5
1 × -5 = -5 → tambah ke 11: 6
1 × 6 = 6 → tambah ke -6: 0 (sisa = 0)
Hasil: x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)
Faktorisasi: (x-1)(x-2)(x-3)
Segitiga Diperluas
| Berdasarkan Sisi | Ciri | Berdasarkan Sudut | Ciri |
|---|---|---|---|
| Sama Sisi | Ketiga sisi sama panjang, semua sudut $60°$ | Lancip | Semua sudut $< 90°$ |
| Sama Kaki | Dua sisi sama, dua sudut alas sama | Siku-siku | Satu sudut tepat $= 90°$ |
| Sembarang | Semua sisi berbeda panjang | Tumpul | Satu sudut $> 90°$ |
📌 Garis-Garis Istimewa Segitiga Baru & Lengkap
1. Garis Tinggi (Altitude) → Pusat: Ortosentrum (H)
Garis yang ditarik dari suatu titik sudut tegak lurus ke sisi yang berhadapan (atau perpanjangannya). Dalam segitiga siku-siku, ortosentrum berada tepat di titik sudut siku-sikunya.
📐 Luas Segitiga = ½ × alas × tinggi
Contoh: alas = 10, tinggi = 6 → Luas = ½ × 10 × 6 = 30 satuan²
2. Garis Bagi (Angle Bisector) → Pusat: Insentrum (I)
Garis yang membagi suatu sudut segitiga menjadi dua sudut sama besar. Insentrum adalah pusat lingkaran yang dapat dibuat di dalam segitiga (lingkaran dalam/incircle) dan berjarak sama dari ketiga sisi.
Teorema Garis Bagi:
Garis bagi dari sudut $A$ membagi sisi $BC$ dengan perbandingan $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
3. Garis Berat (Median) → Pusat: Sentroid/Titik Berat (G)
Garis yang ditarik dari suatu titik sudut ke titik tengah sisi yang berhadapan. Sentroid (G) membagi setiap garis berat dengan perbandingan 2 : 1 dari sudut ke sisi berhadapan. Ini adalah titik "keseimbangan" segitiga.
Jika median dari A ke M (tengah BC) panjangnya 12 cm:
AG = 2/3 × 12 = 8 cm, GM = 1/3 × 12 = 4 cm
4. Garis Sumbu / Tegak Lurus Penyumbu (Perpendicular Bisector) → Pusat: Sirkumsentrum (O)
Garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan tegak lurus terhadap sisi tersebut. Sirkumsentrum (O) adalah pusat lingkaran luar (circumcircle) yang melalui ketiga titik sudut segitiga.
💡 Pada segitiga siku-siku, sirkumsentrum berada tepat di titik tengah sisi miring (hipotenusa).
📌 Teorema Pythagoras & Aturan Segitiga
Teorema Pythagoras
$c$ = sisi miring, $a$ dan $b$ = sisi siku-siku
Tripel Pythagoras umum:
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
Aturan Sinus & Kosinus
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
Digunakan saat segitiga tidak siku-siku
Lingkaran Diperluas
Keliling
$K = 2\pi r$
Luas
$L = \pi r^2$
Diameter
$d = 2r$
📌 Sudut Pusat dan Sudut Keliling Baru & Penting
Sudut Pusat
Sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran. Besar sudut pusat sama dengan besar busur yang dihadapinya.
Sudut Pusat AOB = Busur AB
Jika Busur AB = 80°, maka ∠AOB = 80°
Sudut Keliling
Sudut yang titik sudutnya berada di keliling lingkaran. Besar sudut keliling sama dengan setengah busur yang dihadapinya.
Sudut Keliling ACB = ½ × Busur AB
Jika Busur AB = 80°, maka ∠ACB = 40°
Sudut Pusat = 2 × Sudut Keliling
(keduanya menghadap busur yang sama)
Sifat-sifat Sudut Keliling Penting:
Sudut dalam setengah lingkaran = 90°. Jika AC adalah diameter, maka ∠ABC = 90° untuk titik B mana pun di keliling.
Sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar. Jika ∠ACB dan ∠ADB keduanya menghadap busur AB, maka ∠ACB = ∠ADB.
Sudut-sudut berhadapan dalam segi empat tali busur berjumlah 180°. Jika ABCD adalah segi empat tali busur, maka ∠A + ∠C = 180° dan ∠B + ∠D = 180°.
📌 Garis Singgung Lingkaran Baru
Panjang Garis Singgung dari Titik Luar
Jika titik $P$ di luar lingkaran berjarak $d$ dari pusat $O$, dan jari-jari $= r$, panjang garis singgung $PT$:
Contoh: $d = 13$ cm, $r = 5$ cm
$PT = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144}$
$PT = 12$ cm
Dua Garis Singgung dari Satu Titik
Dari satu titik di luar lingkaran, selalu dapat ditarik tepat dua garis singgung yang memiliki panjang sama.
Jika $PA$ dan $PB$ adalah dua garis singgung dari titik $P$:
$PA = PB$ (sama panjang)
$\angle OPA = \angle OPB$ (sudut terbagi rata)
$\angle POA = \angle POB$ (sudut di pusat terbagi rata)
Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
| Jenis | Rumus Panjang ($d$ = jarak pusat) | Keterangan |
|---|---|---|
| Persekutuan Luar | $GS_{luar} = \sqrt{d^2 - (R-r)^2}$ | Tidak memotong garis antar pusat |
| Persekutuan Dalam | $GS_{dalam} = \sqrt{d^2 - (R+r)^2}$ | Memotong garis antar pusat |
📌 Panjang Busur dan Luas Juring Baru
Jika sudut pusat $= \alpha$ (dalam derajat):
Panjang Busur:
$\ell = \frac{\alpha}{360°} \times 2\pi r$
Luas Juring:
$L_{juring} = \frac{\alpha}{360°} \times \pi r^2$
Simulasi Lengkap: $r = 14$ cm, $\alpha = 90°$
Panjang Busur:
$\ell = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14$
$= \frac{1}{4} \times 88 = 22$ cm
Luas Juring:
$L = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14^2$
$= \frac{1}{4} \times 616 = 154$ cm²
Luas Tembereng
Tembereng adalah daerah antara busur dan tali busur (bukan juring). Luas tembereng = Luas Juring − Luas Segitiga
Contoh: $r = 10$ cm, $\alpha = 60°$: Luas Juring $= \frac{60}{360}\pi(100) = \frac{50\pi}{3}$ cm², Luas Segitiga $= \frac{1}{2}(100)\sin60° = 25\sqrt{3}$ cm²
Transformasi Geometri Diperluas
1. Translasi (Pergeseran)
Menggeser setiap titik sejauh $(a, b)$. Bentuk dan ukuran tidak berubah.
Contoh: Titik A(3, 5) ditranslasi oleh T(2, -4):
A' = (3+2, 5+(-4)) = (5, 1)
Segitiga ABC dengan A(1,1), B(4,1), C(1,4) ditranslasi T(-2, 3):
A'(-1, 4), B'(2, 4), C'(-1, 7)
2. Refleksi (Pencerminan) Dilengkapi
Mencerminkan titik terhadap suatu sumbu/garis cermin. Bentuk tetap sama, tapi posisinya terbalik seperti di kaca.
| Cermin | Rumus Transformasi | Contoh: P(3, -2) |
|---|---|---|
| Sumbu $x$ | $(x, y) \to (x, -y)$ | $P'(3, 2)$ |
| Sumbu $y$ | $(x, y) \to (-x, y)$ | $P'(-3, -2)$ |
| Garis $y = x$ | $(x, y) \to (y, x)$ | $P'(-2, 3)$ |
| Garis $y = -x$ | $(x, y) \to (-y, -x)$ | $P'(2, -3)$ |
| Titik asal $O(0,0)$ | $(x, y) \to (-x, -y)$ | $P'(-3, 2)$ |
| Garis $x = a$ | $(x, y) \to (2a - x, y)$ | Cermin $x=1$: $P'(-1, -2)$ |
| Garis $y = b$ | $(x, y) \to (x, 2b - y)$ | Cermin $y=1$: $P'(3, 4)$ |
Contoh Soal: Segitiga PQR dengan P(2,1), Q(5,1), R(3,4)
Dicerminkan terhadap sumbu y → setiap x menjadi -x:
P'(-2,1), Q'(-5,1), R'(-3,4)
Bentuk dan ukuran segitiga tidak berubah, hanya posisinya yang bercermin.
3. Rotasi (Pemutaran) Dilengkapi
Memutar titik sebesar sudut $\theta$ terhadap suatu pusat rotasi. Sudut positif = berlawanan arah jarum jam (kecuali disebutkan lain). Bentuk dan ukuran tetap tidak berubah.
| Sudut Rotasi | Rumus (Pusat Asal O) | Contoh: P(4, 3) |
|---|---|---|
| $90°$ (berlawanan arum jam) | $(x, y) \to (-y, x)$ | $P'(-3, 4)$ |
| $180°$ | $(x, y) \to (-x, -y)$ | $P'(-4, -3)$ |
| $270°$ (atau $-90°$) | $(x, y) \to (y, -x)$ | $P'(3, -4)$ |
| $360°$ | $(x, y) \to (x, y)$ | $P'(4, 3)$ (kembali ke asli) |
Contoh Soal: Titik A(3, 5) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0):
Gunakan rumus: $(x,y) \to (-y, x)$
A' = (-5, 3)
Jika pusatnya bukan O, misalnya rotasi 90° terhadap P(a,b):
1. Geser titik agar P ke O: $(x-a, y-b)$
2. Rotasi: $(-(y-b), (x-a))$
3. Geser balik: $(-(y-b)+a,\; (x-a)+b)$
4. Dilatasi (Perkalian Skala) Dilengkapi
Memperbesar atau memperkecil bangun dari suatu pusat dengan faktor skala $k$. Bentuk tetap sama, tapi ukuran berubah.
Pusat asal $O(0,0)$: $(x, y) \xrightarrow{D(O,k)} (kx,\; ky)$
Pusat $P(a, b)$: $(x, y) \to (a + k(x-a),\; b + k(y-b))$
| Nilai $k$ | Efek |
|---|---|
| $k > 1$ | Diperbesar, searah dari pusat |
| $0 < k < 1$ | Diperkecil, searah dari pusat |
| $k = 1$ | Tidak berubah |
| $k < 0$ | Diperbesar/diperkecil DAN dicerminkan melalui pusat |
Contoh 1: Titik A(2, 3) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan $k = 3$:
A' = (3×2, 3×3) = (6, 9)
Contoh 2: Segitiga ABC dengan A(1,1), B(3,1), C(1,4) didilatasi pusat P(0,0) dengan $k = \frac{1}{2}$:
A'(½, ½), B'(1½, ½), C'(½, 2) → diperkecil jadi setengahnya
Contoh 3: Titik B(5, 4) didilatasi pusat P(1, 2) dengan $k = 2$:
$x' = 1 + 2(5-1) = 1 + 8 = 9$
$y' = 2 + 2(4-2) = 2 + 4 = 6$
B' = (9, 6)
💡 Sifat-sifat Dilatasi:
• Luas bangun setelah dilatasi = $k^2$ × luas asal
• Panjang sisi setelah dilatasi = $|k|$ × panjang sisi asal
• Besar sudut tidak berubah (bangun tetap sebangun)
Kesebangunan & Kekongruenan Diperluas
🔵 Kongruen (≅)
Dua bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang persis sama. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang DAN sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
🟢 Sebangun (~)
Dua bangun yang memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya bisa berbeda. Sudut-sudut bersesuaian sama besar DAN sisi-sisi bersesuaian sebanding (rasionya konstan).
📌 Syarat Kongruen Dua Segitiga Baru & Lengkap
S–S–S (Sisi–Sisi–Sisi / SSS — Side-Side-Side)
Jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang, maka kedua segitiga pasti kongruen.
△ABC ≅ △PQR jika:
AB = PQ, BC = QR, AC = PR
S–Su–S (Sisi–Sudut–Sisi / SAS — Side-Angle-Side)
Jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar, maka kedua segitiga kongruen.
△ABC ≅ △PQR jika:
AB = PQ, ∠B = ∠Q, BC = QR
Perhatian: Sudut harus "diapit" oleh kedua sisi tersebut!
Su–S–Su (Sudut–Sisi–Sudut / ASA — Angle-Side-Angle)
Jika dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang diapit oleh kedua sudut tersebut sama panjang, maka kedua segitiga kongruen.
△ABC ≅ △PQR jika:
∠A = ∠P, AB = PQ, ∠B = ∠Q
Su–Su–S (Sudut–Sudut–Sisi / AAS — Angle-Angle-Side)
Jika dua sudut yang bersesuaian sama besar dan salah satu sisi tidak-apit yang bersesuaian sama panjang, maka kedua segitiga kongruen.
△ABC ≅ △PQR jika:
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, BC = QR (sisi di depan sudut A = sisi di depan sudut P)
Khusus Segitiga Siku-siku: S–Sm (Sisi–Sisi Miring / HL — Hypotenuse-Leg)
Jika sisi miring (hipotenusa) dan salah satu sisi siku-siku dari dua segitiga siku-siku sama, maka keduanya kongruen.
⚠️ Perhatian: Su–Su–Su (AAA) BUKAN syarat kongruen!
Tiga sudut sama hanya membuktikan sebangun (tidak kongruen). Contoh: segitiga kecil dan besar bisa punya sudut yang sama (60°-60°-60°) tapi berbeda ukuran.
📌 Syarat Sebangun Dua Segitiga
Su–Su (AA)
Dua sudut bersesuaian sama besar. (Sudut ketiga otomatis sama karena jumlah sudut = 180°)
S–S–S Proporsional
Ketiga sisi bersesuaian sebanding: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$
S–Su–S Proporsional
Dua sisi bersesuaian sebanding DAN sudut yang diapit sama besar.
Soal Aplikasi Kesebangunan
Dua segitiga sebangun △ABC ~ △PQR dengan $AB = 6$, $BC = 8$, $AC = 10$ dan $PQ = 9$. Tentukan panjang $QR$ dan $PR$!
Karena sebangun, rasio sisi-sisi bersesuaian konstan:
$k = \frac{PQ}{AB} = \frac{9}{6} = 1{,}5$
$QR = k \times BC = 1{,}5 \times 8 = 12$
$PR = k \times AC = 1{,}5 \times 10 = 15$
Kesebangunan dalam Segitiga Siku-siku Sering Diujikan
Jika segitiga ABC siku-siku di C, dan CD adalah garis tinggi ke sisi AB (D di AB), maka terbentuk tiga segitiga yang sebangun satu sama lain.
Relasi yang berlaku:
$CD^2 = AD \cdot DB$
$AC^2 = AD \cdot AB$
$BC^2 = BD \cdot AB$
Contoh: $AD = 4$, $DB = 9$. Hitung $CD$, $AB$, $AC$, $BC$:
$AB = AD + DB = 13$
$CD = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$
$AC = \sqrt{4 \times 13} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
$BC = \sqrt{9 \times 13} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$
Uji Kecepatan Berpikir!
Suku sejenis dari $4x + 3y - 2x$ jika disederhanakan menjadi?